Domaines et sous-domaines virtuels avec différents certificats SSL

J'ai un domaine : www.example.com et j'ai besoin que ce domaine soit accessible à la fois via https et http.
J'ai un certificat (GeoTrust) qui protège www.example.com et exemple.com.

Je dois aussi protéger app.example.com.
app.example.com est quelque chose qui doit être accessible UNIQUEMENT via https, mais il n'a pas besoin d'un certificat approprié : un certificat auto-signé est suffisant.

J'ai essayé de nombreuses configurations différentes (même en utilisant le même certificat pour le domaine principal et le sous-domaine), mais rien n'a fonctionné !
La configuration suivante est la dernière que j'ai essayée mais le résultat est que si je me connecte à app.example.com, il me dit que la connexion n'est pas fiable et ensuite, une fois acceptée, il me redirige vers www.example.com !

Une aide ? Merci.

    <VirtualHost *:80>
        DocumentRoot "/var/websiteexample/public/www"
        ServerName www.example.com
        ServerAlias example.com
        <Directory "/var/websiteexample/public/www">
            allow from all
            Options +Indexes
        </Directory>
    </VirtualHost>

    <VirtualHost *:443>
        DocumentRoot "/var/websiteexample/public/www"
        ServerName www.example.com
        ServerAlias example.com
        SSLEngine on
        SSLCertificateFile /root/www.example.com.crt
        SSLCertificateKeyFile /root/www.example.com.key
        <Directory "/var/websiteexample/public/www">
            allow from all
            Options +Indexes
        </Directory>
    </VirtualHost>

    <VirtualHost *:443>
        DocumentRoot "/path/to/another/app"
        ServerName app.example.com
        SSLEngine on
        SSLCertificateFile /root/app.example.com.pem
        <Directory "/path/to/another/app">
            allow from all
            Options +Indexes
        </Directory>
    </VirtualHost>