manipuler une chaîne de caractères qui est envoyée dans un fichier en utilisant bash

J'essaie d'envoyer plusieurs lignes dans un fichier texte tout en manipulant la chaîne qui est envoyée en fonction d'une séquence.

cmd="My string 00"

for i in $(seq -f "%02g" 00 05); \
  do \
  echo $(echo $cmd | sed -e 's|00|$(echo $i)|g') >> outfile.txt ;  \
done

ne fonctionne pas. La sortie devrait ressembler à ceci :

My string 00  
My string 01  
My string 02  
My string 03  
My string 04  
My string 05  

mais la sortie est :

My string $(echo $i)
My string $(echo $i)
My string $(echo $i)
My string $(echo $i)
My string $(echo $i)
My string $(echo $i)