Quelle est la meilleure façon de déplacer des données MySQL d'un serveur à un autre ?

Cette méthode ne fonctionne pas dans le cas d'Innodb. Si les versions de Mysql sont les mêmes, vous pouvez essayer de déplacer les fichiers de /var/lib/mysql (en fonction de votre distribution) d'un vps à l'autre.
Par exemple, dans Debian GNU/Linux, cela fonctionnera, mais vous devrez également modifier le mot de passe de l'utilisateur mysql debian-sys-maint. Vous pouvez le faire de cette façon :
mysql -uroot -p -e "GRANT ALL PRIVILEGES ON _._ TO 'debian-sys-maint'@'localhost' IDENTIFIED BY '$(sed -n '/password/p;' /etc/mysql/debian.cnf | sed '1d;s/.* //')' WITH GRANT OPTION;"
Si vous avez une version mineure de mysql différente, cela peut fonctionner, mais théoriquement vous pouvez avoir des bugs.

Utilisation Réplication MySQL ici. Vous ne devriez pas avoir de problèmes avec les versions - puisque vous avez un VPS et pas seulement un hébergement, si j'ai bien compris. Si les performances de la deuxième machine ne sont pas beaucoup plus mauvaises que celles de l'autre, l'esclave ne devrait avoir que quelques secondes de retard sur le maître.

N'oubliez pas d'arrêter la réplication lorsque vous démissionnez du premier VPS (quelqu'un pourrait faire un DROP sur le Master qui se répliquerait sur le Slave).

Essayez de planifier l'avenir - peut-être que certaines tables MyISAM ne suffiront pas avec un trafic plus important - vous pouvez avoir un esclave MySQL avec certaines tables sur des moteurs différents du maître.