Il n'y a aucune raison de ne pas envoyer un certificat pour un site web à la nouvelle hôte du site.
Cependant... si le certificat actuel était un certificat générique ou contenait un grand nombre de SAN, alors je générais probablement un nouveau certificat avec seulement les adresses de site requises pour minimiser les problèmes potentiels avec un acteur malveillant qui aurait accès à leurs systèmes et spoofing des sites sous votre domaine. (Je réalise que cela ne s'applique probablement pas dans votre cas spécifique ici, mais il vaut la peine de vérifier au cas où, et j'ajoute surtout cette partie comme conseil générique pour les personnes recherchant à l'avenir.)
En tant que bonne pratique, dans votre situation j'enverrais tous les détails au client plutôt qu'à la nouvelle société d'hébergement, et je m'assurerais également que le certificat et la clé privée étaient cryptés pendant le transit.
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Il n'y a vraiment aucune raison de ne pas le faire :)
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Si c'est leur certificat, pourquoi devriez-vous courir un risque ?
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Pas sûr si cela contient quelque chose (dans la clé privée) spécifique à mon serveur