Options de démarrage de Windows manquantes

J'ai essayé d'installer ElementaryOS sur ma machine, et j'ai effacé ma partition de démarrage par accident.

J'ai installé avec succès Elementary OS (0.6 Odin, même si cela n'a pas d'importance). Maintenant, mon Grub ne montre qu'Elementary, et je ne peux pas accéder à mon Windows.

J'ai essayé le processus suivant ( os-prober n'ont rien fait d'utile) :

Running parted -l donne le résultat suivant :

Partition Table: gpt
Disk Flags: 

Number  Start   End    Size    File system  Name                          Flags
 1      1049kB  473MB  472MB   ntfs         Basic data partition          hidden, diag
 3      577MB   593MB  16.8MB               Microsoft reserved partition  msftres
 4      593MB   157GB  157GB   ntfs         Basic data partition          msftdata
 5      157GB   158GB  541MB   ntfs                                       hidden, diag
 2      158GB   158GB  294MB   fat32        NO NAME                       boot, esp
 6      158GB   250GB  91.9GB  ext4         elementary OS

Je sais que sda2 est la nouvelle partition de démarrage que j'ai créée. sda4 est la partition de Windows 10, et sda5 est la partition de récupération ? (Je ne suis vraiment pas sûr de cela).

J'ai essayé d'ajouter les deux sda5 y sda4 à mon Grub en ajoutant les lignes suivantes à /etc/grub.d/40_custom :

#!/bin/sh
exec tail -n +3 $0
menuentry "Windows 10 Recovery" --class windows --class os {
    insmod part_msdos   
    insmod ntfs
    set root='(hd0,msdos4)'
    search --no-floppy --fs-uuid --set=root EE92464E92461C09
    chainloader +1
}

menuentry "Windows 10" --class windows --class os {
    insmod part_msdos   
    insmod ntfs
    set root='(hd0,msdos4)'
    search --no-floppy --fs-uuid --set=root 28981AAB981A7790
    chainloader +1
}

Après utilisation :

> sudo blkid /dev/sda4
/dev/sda4: UUID="28981AAB981A7790" TYPE="ntfs" PARTLABEL="Basic data partition" PARTUUID="09b51487-4e98-458a-9a50-0a4470e4f844"

> sudo blkid /dev/sda5
/dev/sda5: UUID="EE92464E92461C09" TYPE="ntfs" PARTUUID="6805dc0a-c750-4ef6-a06d-f41ad4ab3f2a"

Et bien sûr, j'ai couru sudo update-grub .

Cependant, je reçois un erreur : "Chemin de fichier EFI non valide" en essayant de démarrer à partir de ces nouvelles entrées.

De même, en montant la nouvelle partition de démarrage et en exécutant ls rendements :

EFI
-> BOOT
-> ubuntu

Ce qui veut dire que je n'ai pas les entrées de démarrage de Windows (et de récupération de Windows).

Je n'ai vraiment pas envie de réinstaller mon Windows et mon Elementary à nouveau. Cependant, je n'ai aucune idée de la façon de résoudre ce problème.